المعادلات التفاضلية .. نموذج أم أداة ؟

• هل لمفهوم المعادلات التفاضلية دلالة عند الطلبة ؟

• ماذا يمثل موضوع المعادلات التفاضلية بالنسبة للمتعلم ؟

• هل لمفهوم المعادلات التفاضلية نفس الوضع في مادتي الرياضيات والفيزياء ؟

• ما هو دور المعادلات التفاضلية ؟ نموذج أم أداة ؟

توجد علاقة وطيدة بين علم الرياضيات والعلوم الفيزيائية، لا يمكن للفيزيائي الاستغناء عن الرياضيات لأن بواسطتها يبني النماذج التي تسمح له بدراسة الظواهر الفيزيائية المعقدة، ومن جهتها توفر العلوم الفيزيائية لعلم الرياضيات مجالا تطبيقيا ملائما يسمح بإعطاء معناً للمفاهيم الرياضياتية، وموضوع المعادلات التفاضلية ميدان خصب وقوي جدا في التحليل الرياضياتي. من المفيد الحديث عن وضعية مفهوم «المعادلات التفاضلية» في كلا المادتين، ففي مادة الرياضيات الأمر واضح وجلي حيث يتعلم الطالب: «البحث عن حلول المعادلات التفاضلية» وفق عملية خوارزمية، لكن بالنسبة للفيزياء فالأمر ليس بهذه السهولة .. حيث تأخذ المعادلات التفاضلية وضع «النموذج»، أي أنها تستخدم لنمذجة الظاهرة الفيزيائية.

النمذجة

رغم التعقيد الذي تتسم به مسألة النمذجة، فإنه يمكن حصرها في ثلاث عناصر هي: الظاهرة الحقيقية، النموذج، واختبار النموذج، بعبارة أخرى تمر النمذجة بمراحل ثلاث هي (أولا) تعريف الجملة المراد نمذجتها، (ثانيا) بناء النموذج والعمل عليه، (ثالثا) العودة إلى الظاهرة الحقيقة. لنفرض أن لدينا سؤالا أو أكثر حول ظاهرة فيزيائية حقيقية، من أجل الاجابة على هذا السؤال يجب بناء نموذج رياضي يستوعب جميع العوامل المتعلقة بالظاهرة الفيزيائية، ثم نعمل على النموذج باستعمال الأدوات الرياضياتية لتصبح لدينا إجابة عن السؤال المطروح، في الأخير يجب أن نعود إلى التجربة من أجل التحقق من النتائج المتحصل عليها.

في الدارة الكهربائية الممثلة بالشكل المقابل، السؤال المطروح هو البحث عن المدة الزمنية اللازمة لشحن (أو تفريغ) المكثفة ؟ لا يمكننا الإجابة على هذا السؤال ولو كررنا التجربة عدة مرات .. لأن مشاهدة الظاهرة لا تجيب عن السؤال .. ماذا نفعل ؟ نلجأ إلى نموذج وهو هنا «معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى» .. في الحقيقة يمكن لهذه المعادلة وصف تطور الجملة والإجابة عن السؤال المطروح وأسئلة أخرى  .. بعد حساب الزمن اللازم للشحن، نتأكد من صلاحية النموذج عن طريق إجراء تجارب كمية.

ما هو المطلوب من الطالب ..  في الفيزياء ؟

إذا نظرنا إلى ما يجري في الأقسام مع التلاميذ، نجد أن دراسة الظواهر الفيزيائية عن طريق المعادلات التفاضلية يمر عبر ثلاث مراحل هي:

• تعريف قانون نظري يربط بين مختلف مكونات الجملة المدروسة (قانون جمع التوترات، القانون الثاني لنيوتن ..)
•  تأسيس أو وضع المعادلة التفاضلية المعبرة عن الظاهرة المدروسة.
•  حل المعادلة التفاضلية.

ونلاحظ أن بناء النموذج والعمل عليه والمتمثل في تأسيس المعادلات التفاضلية ثم البحث عن حلولها وإنجاز الحسابات الرياضياتية ذات الصلة تشكل حولي 95 %  من الجهود المبذولة في دراسة الظواهر الفيزيائية، وأن أغلب الأساتذة والطلبة يعتمدون ويفضلون المقاربة الرياضياتية، وأن مفهوم المعادلات التفاضلية وحلولها تبقى دائما في إطارها الرياضياتي حتى وإن كانت تعبر عن تطور ظاهرة فيزيائية حيث كان من الواجب أن يكون لها معنى ودلالة.

تطور الجُمَل الفيزيائية

« C’est Newton qui nous a montré qu’une loi n’est qu’une relation nécessaire entre l’état présent du monde et son état immédiatement postérieur. Toutes les autres lois, découvertes depuis, ne sont pas autre chose ; ce sont en somme des équations différentielles. »               Henri POINCARÉ 

«نيوتن هو الذي بين لنا أن القانون الفيزيائي ما هو إلا علاقة ضرورية بين الحالة الراهنة للعالم وحالته الموالية على الفور. جميع القوانين الأخرى التي اكتشفت منذ ذلك الحين، ليست شيئا آخر غير ما قاله نيوتن، وهي في عمومها معادلات تفاضلية»   هنري بوانكاري

إن تطور مختلف الجمل الكيميائية والفيزيائية هو مؤشر الترابط والسمة البارزة لمنهاج العلوم الفيزيائية في القسم النهائي، حيث أن تأسيس المعادلات التفاضلية هي خطوة أساسية لفهم وتوقع تطور هذه الجمل، مع التأكيد على الأهمية التي يوليها المنهاج لحل المعادلات التفاضلية.

مشكلة بيداغوجية

نجد أن بعض الأساتذة يتعاملون مع المعادلات التفاضلية في الميكانيك والحركيات، بطرقة مختلفة عن تلك التي يتعاملون بها مع المعادلات التفاضلية في دروس أخرى .. والسبب في نظري هو بقايا ورواسب مقاربات كانت معتمدة في المناهج القديمة للعلوم الفيزيائية والرياضيات، فمن أجل البحث عن الحلول الممكنة للمعادلات التفاضلية نجدهم يتحدثون عن التكامل ؟؟ ومن بين ما يمكن أن نجده مُدَوَّنًا على دفاتر التلاميذ عبارات مثل:

ثم تليها عبارات رياضياتية مثل: 

وهذه أيضا ليست لا فيزياء صحيحة ولا رياضيات سليمة .. لاحظ أن اشتقاق السرعة تم بالنسبة للزمن « dt » في حين أن تكاملها يُجرَى بالنسبة للسرعة « dv » .. ؟

من جهة أخرى فإن »التكامل« بالمفهوم الوارد هنا لم يعد له وجود في منهاج الرياضيات الذي يدرسه التلاميذ .. صحيح أنه كان يُدَرَّس في المنهاج القديم للرياضيات، لكن الأمر الآن مختلف .. الذي بقي من موضوع التكامل كما كان يُدَرَّس في المنهاج القديم هو التكامل المحدود، وهو يُدَرَّس حاليا تحت مُسَمَّى »الحساب التكاملي« ...

لتصحيح الكتابة الرياضياتية يمكن أن تقترح صيغة كالتالي:

هذه على الأقل كتابة رياضياتية صحيحة .. لكنها ليست الطريقة الملائمة لحل معادلة تفاضلية ..

التلاميذ خلال دراستهم لموضوع المعادلات التفاضلية وحلولها في مادة الرياضيات لا يستعملون مثل هذه المقاربة !! لأنهم تعلموا البحث عن حلول المعادلات التفاضلية وفق مقاربة «خوارزمية» ..

الرياضيات التي درسها التلاميذ تقتضي منهم ..

لا داعي لأن تقول «كِيفْ .. كِيفْ» أو «هِيَّ .. هِيَّ» ..

لأنه إذا كانت «كِيفْ .. كِيفْ» كما يقول البعض .. لماذا لا نستخدم المقاربة المتضمنة «التكامل» عند دراسة مواضيع التناقص الإشعاعي، الدارتين الكهربائيتين RC و RL، الاهتزازات الميكانيكية أو الاهتزازات الكهربائية .. فجميع هذه الدروس تتضمن معادلات تفاضلية .. لماذا الاصرار على تطبيق هذه المقاربة التي اقل ما يمكن أن توصف به أنها «غريبة» وهي لا تستعمل سوى لدراسة تطور الجمل الميكانيكية ؟؟ ..

وعندما يتكرر الأمر عند عدد معتبر من الأساتذة نُصبح فعلا أمام مشكلة بيداغوجية !!